Relasi
Menyatakan hubungan
antara suatu anggota
himpunan dengan anggota
himpunan lainnya. Himpunan
A dan himpunan B dikatakan memiliki relasi jika ada anggota himpunan yang saling
berpasangan. Relasi antara
dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan
diagram panah, himpunan
pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.
1. Diagram Panah
Diagram
panah merupakan cara yang paling mudah untuk menyatakan suatu relasi. Diagram ini membentuk pola dari suatu relasi ke dalam bentuk gambar arah
panah yang menyatakan hubungan antara anggota himpunan
A dengan anggota
himpunan B.
Misalnya, ada 4 orang anak yaitu Ali, Siti, Amir dan Rizki. Mereka diminta untuk menyebutkan warna favorit mereka. Ali menyukai warna merah, Siti menyukai warna ungu, Amir menyukai warna hitam, dan Rizki menyukai warna merah. Dari hasil uraian tersebut, terdapat dua buah himpunan. Himpunan pertama adalah himpunan anak, kita sebut himpunan A dan himpunan yang kedua adalah himpunan warna, kita sebut himpunan B. Hubungan antara himpunan A dan himpunan B dapat di ilustrasikan dengan diagram panah seperti berikut:
Jadi, dapat disimpulkan bahwa diagram panah di atas merupakan relasi antara anak dengan warna yang mereka sukai. Relasi antara kedua himpunan tersebut dapat dinyatakan dengan panah-panah yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.
2. Himpunan Pasangan Berurutan
Selain dengan diagram panah, suatu relasi juga dapat
dinyatakan dengan menggunakan himpunan pasangan
berurutan. Caranya dengan memasangkan
himpunan A dengan himpunan B secara berurutan. Kita dapat mengambil
contoh dari contoh
diagram panah tadi.
Ali menyukai warna merah Siti menyukai warna ungu Amir menyukai warna hitam Rizki menyukai warna merah
Dari uraian di atas kita dapat menyatakan relasinya dengan himpunan pasangan berurutan seperti berikut:
(Ali, merah), (Siti, ungu), (Amir, hitam), (Rizki, merah).
Jadi, relasi antara himpunan A dengan himpunan B dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B.
Menyatakan relasi antara dua himpunan
dari pasangan berurutan
yang kemudian dituliskan dalam bentuk dot (titik-titik). Contoh dari relasi antara anak dengan warna kesukaannya
yaitu himpunan A = {Ali, Siti, Amir, Rizki} dan himpunan B = {merah, ungu, hitam},
dapat digambarkan dalam bentuk diagram
Cartesius seperti di bawah ini:
Fungsi
Fungsi (pemetaan) merupakan relasi dari himpunan A ke
himpunan B, jika setiap anggota himpunan
A berpasangan tepat satu dengan anggota himpunan B. Semua anggota himpunan A atau daerah asal disebut domain,
sedangkan semua anggota himpunan B atau daerah kawan disebut kodomain. Hasil dari pemetaan antara domain dan kodomain
disebut range fungsi atau daerah
hasil. Sama halnya dengan relasi, fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk
diagram panah, himpunan pasangan berurutan
dan dengan diagram
Cartesius.
Jadi, dari diagram panah di atas dapat disimpukan:
Domain adalah A = {1,2,3} Kodomain adalah B = {1,2,3,4} Range fungsi = {2,3,4}
Sebuah fungsi dapat dinotasikan dengan huruf kecil sepeti f, g, h. Misal, fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B dinotasikan f(x) dengan aturan f : x → 3x+3. Artinya fungsi f memetakan x ke 3x+3. Jadi daerah bayangan x oleh fungsi f adalah 3x+3 sehingga dapat dinotasikan dengan f(x) = 3x+3. Dari uraian ini dapat dirumuskan:
Jika fungsi f : x → ax +b dengan x anggota domain f , maka rumus fungsif adalah f(x) = ax+b
Dengan menghitung nilai fungsi, kita dapat mengetahui nilai fungsi yang dapat menghasilkan himpunan kawan (kodomain) dari himpunan asal (domain). Supaya lebih jelas, coba kerjakan contoh soal di bawah ini ya.
·
Diketahui fungsi
f : x → 3x + 3 pada
himpunan bilangan bulat. Tentukan:
1. f(3)
2. bayangan (-2) oleh f
3. nilai f untuk x = -4
4. nilai x untuk f(x) =
6
5.
nilai a jika f(a) = 12
Jawab:
Fungsi f : x → 3x + 3 Rumus fungsi: f(x) = 3x+3
1. f(3) = 3(3)+3 = 12
2. bayangan (-2) oleh f sama dengan f (-2), jadi f(-2) = 3(-2)+3
= -3
3.
nilai f untuk x = -4 adalah f (-4) = 3(-4)+3 = -9
4. nilai x untuk
f(x) = 6 adalah 3x + 3 = 6
3x = 6-3
3x = 3
x = 1
5. nilai a jika f(a) = 12 3a + 3 = 12
3a = 12 – 3
3a = 9
a = 3