Himpunan
A.
Himpunan dan Notasinya
1.
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda/objek yang dapat
didefinisikan dengan jelas.
Contoh:
a.
Kumpulan bunga-bunga indah.
Tidak dapat kita sebut himpunan karena bunga
indah itu relatif (bunga indah menurut seseorang belum tentu indah
menurut orang lain). Dengan kata lain, kumpulan bunga indah tidak dapat
didefinisikan dengan jelas.
b.
Rombongan siswa SMP yang
berwisata ke pula dewata adalah himpunan. Mengapa? Sebabnya ialah siswa-siswi
yang berwisata kepulau dewata dapat diketahui dengan jelas.
2.
Menyatakan Suatu Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan :
a.
Suatu kalimat
b.
Notasi pembentuk himpunan
c.
Mendaftar anggota-anggotanya
d.
Untuk memberi nama pada suatu himpunan pada umumnya digunakan
lambang huruf kapital.
Contoh:
H adalah tokoh-tokoh yang pernah menjadi
presiden RI sebelum pemilu 2009. nyatakan himpunan tersebut dengan ketiga cara
di atas:
Jawab:
1)
Dengan suatu kalimat
H = { tokoh-tokoh yang
pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}
2)
Dengan notasi pembentuk himpunan:
H = {x|x = tokoh-tokoh
yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}
3)
Dengan mendaftar anggota-anggotanya
H = {Soekarno, Soeharto,
B.J. Habibie, Abdurrahaman Wahid, Megawati, Susilo Bambang Yudoyono}
B.
Anggota Himpunan
1.
Setiap benda/objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut
anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan
anggota himpunan, ditulis dengan lambang “∈” sedangkan untuk
menyatakan suatu objek bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “∉”
Contoh:
Misalkan H adalah himpunan huruf-huruf pada kata
“MERDEKA” maka H adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri
atas huruf-huruf M, E, R, D, E, K dan A. Huruf M, E, R, D, E, K dan A termasuk
anggota himpunan H.
Banyaknya anggota himpunan H adalah 6 buah,
yaitu M, E, R, D, E, K dan A ditulis n(H) = 6.
2.
Himpunan dengan banyak anggota berhingga disebut himpunan hingga,
sedangkan himpunan dengan banyak anggota tidak berhingga disebut himpunan tidak
berhingga
Contoh:
Misalnya, A adalah himpunan bilangan asli, maka
anggota-anggota adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya yang tidak pernah
berakhir. Banyak anggota himpunan A adalah tidak berhingga, ditulis n(A) =
tidak berhingga.
C.
Himpunan Bagian
1.
Pengertian Himpunan Bagian
Perhatikan himpunan-himpunan
berikut:
A = {himpunan hewan}
B = {himpunan hewan berkaki empat}
C = {himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}
Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut:
A = {kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}
B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}
C = {buaya, kura-kura}
Jika kita perhatikan,
setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B ⊂ A
dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C ⊂ B.
Namun, kita tidak dapat menuliskan A ⊂ B karena ada
anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu
himpunan yang demikian ditulis A ⊄ B
2.
Menentukan banyak himpunan bagian
Perhatikan
himpunan-himpunan berikut!
A = {a}, banyaknya
himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan ∅
A = {a, b}, banyaknya himpunan
bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan ∅
A = {a, b, c },
banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b,c} {a,b,c}
dan ∅
Contoh:
Tentukan banyaknya
himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3}
Jawab:
n(A) = 3
jadi, N = 2³ = 8
Himpunan bagian dari A
adalah sebagai berikut:
{1} {2} {3} {1,2} {1,3}
{2,3} {1,2,3} ∅
D.
Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta
1.
Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak
mempunyai anggota dan dinotasikan dengan ∅ atau {}
Contoh:
Jika H adalah himpunan nama-nama hari yang
dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan L
Jawab :
H =∅ atau H = {} karena
tidak ada nama hari yang dimulai dengan huruf B.
2.
Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah
himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti
semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada
himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan
universal dan disimbolkan S atau U.
Contoh :
R = {3,5,7}
Himpunan semesta yang mungkin untuk
himpunan R diantaranya adalah
a.
S = R = {3,5,7}
b.
S = {bilangan ganjil}
c.
S = {bilangan cacah}
d.
S = {bilangan prima}
E.
Diagram Venn
Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar
yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar
Matematika, Inggris pada tahun 1834-1923 bernama John Venn dalam membuat
diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu:
1.
Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf
S diletakkan di sudut kiri atas persegi panjang
2.
Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong)
ditunjukkan oleh kurva tersebut.
3.
Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik)
4.
Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya
tidak perlu dituliskan.
Contoh: Buku Paket halaman 126
F.
Irisan dan Gabungan Dua Himpunan
1.
Irisan Dua Himpunan
Pengertian irisan dua himpunan
Jika P = {1,2,3,4} dan Q = {3,4,5} maka 3 dan 4
adalah anggota sekutu dari P dan Q. sedangkan 1 dan 2 menjadi anggota P tetapi
bukan anggota Q dan 5 menjadi anggota Q tetapi bukan anggota P. Himpunan yang
memuat semua anggota sekutu dari P dan Q disebut irisan dari P dan Q; ditulis P
∩ Q = {3,4}
Irisan P dan Q adalah himpunan yang
anggotanya merupakan anggota P sekaligus anggota Q.
Ditulis dengan notasi pembentuk himpunan sebagai
berikut:
P ∩ Q = {x | x ∈ P dan x∈ Q}
Contoh:
A = {bilangan asli yang kurang dari 6}
B = {2,4,6}
Tentukan A∩B
Jawab :
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6} maka A∩B = {2,4}
2.
Gabungan [∪] dua himpunan
Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan
suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan
tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan “∪”.
Misalkan P = {2,3,4,5} dan Q = {1,2,4,6}
maka P∪Q = {1,2,3,4,5,6}
Gabungan dari P dan Q adalah himpunan yang semua
anggotanya terdapat pada P atau Q. ditulis dengan notasi pembentuk himpunan: P ∪
Q = {x| x ∈ P atau x ∈ Q}
3.
Komplemen
Misalkan:
S = {1,2,3,4,5,6,7}
Q = {2,3,4,}
Himpunan S yang anggotanya selain anggota
himpunan Q adalah {1,5,6,7}. Himpunan bagian dari S ini disebut komplemen Q dan
ditulis Q¹ atau (Q©).
Demikian materi himpunan yang dapat saya
paparkan. Semoga bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.
Latihan soal!
1.
diantara kumpulan berikut yang merupakan himpunan adalah…
a.
kumpulan sungai yang panjang
b.
kumpulan gedung yang tinggi
c.
kumpulan hewan dikebun binatang ragunan
d.
kumpulan anak yang rajin
2.
M A T E M A T I K A
Jika B adalah himpunan
huruf pembentuk kata diatas, maka n(B) adalah…
a.
8
b.
7
c.
6
d.
5
3.
Tentukan hubungan antara himpunan C dan D jika diketahui C = {k,u,d,a}
dan D = {k,u,c,i,n,g}
a.
C ∩ D
b.
C ∪ D
c.
C ∈ D
d.
C
4.
Diketahui A = {p,q,r,s,t,u}. banyaknya
himpunan bagian yang memiliki anggota 5 unsur adalah…
a.
64
b.
41
c.
20
d.
6
5.
Jika A = {2,3,5,7} dan B ={1,3,5,7,9}
Gambarkan
diagram ven yang menyatakan hubungan kedua himpunan tersebut!