Pendalaman
Materi Aljabar Kelas 7
A.
Bentuk
Aljabar dan Rumus Aljabar
Sebelum
mempelajari tentang bagaimana cara memfaktorkan aljabar kita pelajari
pengertiannya terlebih dahulu. Bentuk aljabar adalah bentuk-bentuk yang disusun
dari suku-suku.
Contoh
aljabar:
Bentuk
aljabar di atas memiliki 3 suku, di mana a koefisien dari x2, b koefisien
dari x, dan c adalah konstanta. Sedangkan x yaitu variabel.
3x
+ 4y + 5
Bentuk
aljabar di atas memiliki tiga suku di mana 3 koefisien dari x, 4 koefisien
dari y dan 5 adalah konstanta, x dan y adalah variabel.
1. Pengertian
Variabel, Konstanta, dan Suku pada Bentuk Aljabar
·
Variabel atau Peubah adalah simbol yang
menunjukan satu atau sekumpulan bilangan.
·
Koefisien adalah bilangan yang menyertai
variabel.
·
Konstanta adalah lambang satu bilangan
tertentu yang tidak dituliskan bersama peubah. Suku-suku adalah bilangan dan
peubah yang dihubungkan oleh tanda penjumlahan atau pengurangan.
2. Bentuk
Suku Banyak
Bentuk
suku banyak adalah sebagai berikut:
Contoh:
1
jika n = 0, suku banyak di atas menjadi a0 yang disebut suku
satu dengan pangkat tertinggi variabelnya (x) adalah nol.
3x
+ 6 jika n = 1, suku banyak di atas menjadi a1 x + a0 yang
disebut suku dua (binom) dengan pangkat tertinggi variabelnya (x) adalah satu.
4x2 –
2x + 9 jika n = 2, suku banyak di atas menjadi a2 x2 +
a1 x + a0 yang disebut suku tiga (trinom) dengan
pangkat tertinggi variabelnya (x) adalah dua.
3. Pecahan
Bentuk Aljabar
Adalah
pecahan yang pembilang atau penyebutnya merupakan bentuk aljabar. Yang kita pelajari
di sini pecahan yang penyebutnya satu suku. Contoh:
B.
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
1.
Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar
Contoh:
2.
Perkalian dan Pembagian Aljabar
a. Perkalian suku sejenis dan berbeda jenis.
Dengan memperlihatkan sifat komutatif, sifat perkalian berbeda tanda, dan sifat
distribusi dari setiap suku-suku, maka bisa dilakukan operasi hitungnya.Contoh:
b. Pembagian
suku sejenis dan berbeda jenis. Pada pembagian tidak berlaku sifat komutatif.
3.
Pengkuadratan Suku Dua
Bentuk
kuadrat adalah bentuk lain perkalian satu suku banyak dengan dirinya sendiri
sebanyak dua kali. Kita dapat menggunakan sifat distribusi perkalian adil.Contoh:
4.
Pangkat Tinggi dari Suku Dua
Pembahasan
pangkat tinggi dari suku dua meliputi perpangkatan yang lebih dari dua, yaitu
(a + b)3, (a + b)4, (a + b)5, … dan
seterusnya. Pangkat tiga pun dengan mudah dapat diselesaikan jika suku-sukunya
dikalikan dengan teliti.
Akan
tetapi ada cara yang jauh lebih mudah, yaitu dengan menggunakan segitiga
paskal. Penjabaran bentuk (a + b)n dapat dilakukan
menggunakan segitiga pascal, koefisien-koefisiennya diperlihatkan pada pola
segitiga pascal berikut ini:
C. Faktorisasi
Aljabar
a. Faktorisasi
ax + ay dan ax – ay
Masih ingaktkah kamu
tentang faktor dari suatu bilangan? Faktor dari suatu bilangan x adalah
bilangan yang dapat membagi bulat bilangan x tersebut. Misal, 6 adalah faktor
dari 12, karena 6 bisa membagi 12 atau dapat dituliskan 12 : 6 = 2.
Oleh karena itu,
memfaktorkan ax + ay dan ax – ay adalah menuliskan ax + ay dan ax – ay dalam
bentuk perkalian faktor-faktornya. Dari hukum distribusi didapatkan a(x +
y) = ax + ay atau ax + ay = a(x + y).
Dapat diambil
kesimpulan bahwa a dan (x + y) adalah faktor dari (ax + ay).Contoh:
5x + 10y = 5(x + 2y)
4x2 +
4xy = 4x(x + y)
b. Faktorisasi
x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy +y2
Pada contoh pengkuadratan suku dua kita
sudah mendapatkan (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.
Bagaimana memfaktorkan bentuk x2 +
2xy + y2 menjadi menjadi (x + y)(x + y)?
Langkah pertama yang dilakukan adalah
mengubah suku dua 2xy menjadi xy + xy. Selanjutnya, lakukan pemfaktoran seperti
berikut ini.
Dengan
cara yang sama, kamu dapat memfaktorkan bentuk x2 – 2xy + y2 menjadi
(x – y)(x – y).
Contoh:
c. Faktorisasi
x2 – y2
Perhatikan perkalian suku berikut.
Bentuk
di atas dapat ditulis sebagai faktorisasi, yaitu x2 – y2 =
(x + y)(x – y).
Contoh:
4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2 =
(2x + 3y)(2x – 3y)
d. Faktorisasi
x2 + bx + c
Secara umum, x2 + bx + c
dapat difaktorkan menjadi (x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x +
pq dengan p + q = b dan pq = c.
Jadi, saat melakukan pemfaktoran x2 +
bx + c dapat, kita harus mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b
dan jika dikalikan hasilnya c.
Contoh:
x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x
+ 5) dua bilangan yang dijumlahkan hasilnya 8 dan jika dikalikan hasilnya 15
adalah 3 dan 5.
X2 + 6x – 72 = (x +
12)(x – 6) dua bilangan yang jika djumlahkan hasilnya 6 dan jika dikalikan
jumlahnya -72 adalah 12 dan -6.
e. Faktorisasi
ax2 + bx + c; a ≠ 0, a ≠ 1
Berikut adalah langkah-langkah
pemfaktoran ax2 + bx + c.
Anggap bahwa bentuk ax2 +
bx + c dapat ditulis menjadi seperti berikut.
Jika
kita kalikan persamaan yang ada di sebelah kanan kemudian dibandingkan dengan
persamaan sebelah kiri akan didapatkan hubungan seperti p + q = b dan p x
q = ac. Carilah p dan q yang bersesuaian dengan hubungan tersebut. Mulailah
dari perkalian, cocokkan p dan q yang didapatkan dengan penjumlahannya.
Langkah terakhir adalah mensubtitusikan kembali p dan q yang didapat pada persamaan pada langkah (a), kemudian lakukan faktorisasi dua suku untuk menghilangkan penyebutnya.
Menyederhanakan
Pecahan Bentuk Aljaba
Pecahan\
aljabar dapat disederhakan dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya dengan
faktor persekutuannya. Saat di sekolah dasar kita telah mempelajari cara
menyederhanakan suatu pecahan, yaitu dengan memfaktorkan pembilang dan
penyebutnya. Apabila pembilang dan penyebutnya memiliki faktor yang sama, maka
pecahan itu dapat disederhanakan. Suatu pecahan dikatakan sederhana apabila
pembilang dan penyebutnya hanya memiliki faktor persekutuan 1.
Contoh:
