Pola Bilangan: Barisan dan Deret Aritmetika
Barisan aritmetika adalah sekelompok bilangan yang memiliki pola/aturan tertentu dan memiliki beda/selisih yang tetap untuk setiap dua suku yang berurutan. Apabila kita pahami definisi di atas, bebepa orang mungkin masih akan kesulitan membayangkan seperti apa itu barisan aritmetika. Oleh karena itu, lihat contoh berikut:
Barisan Bilangan Genap: 2, 4, 6, 8, 10, ... (dan seterusnya). Memiliki beda yang konstan untuk setiap dua suku yang berurutan. Sederhananya, kita hanya perlu menambahkan 2 pada suku sebelumnya untuk menentukan/mendapatkan suku berikutnya.
Barisan berikut juga merupakan barisan aritmetika dengan beda -3 (Lihat gambar).
Lalu apa bedanya barisan aritmetika dengan deret aritmetika??? Barisan aritmetika dan deret aritmetika pada dasarnya sama. Perbedaannya adalah barisan aritmetika berupa sekelompok pola bilangan aritmetika yang di bariskan sedangkan pada deret aritmetika, bilangan-bilangan ini di jumlahkan. Lihat contoh berikut:
Barisan dan deret aritmetika biasanya digunakan pada topik kombinatorika dan suku banyak untuk merepresentasikan koefisien dari suatu suku banyak atau deret. Artikel kali ini akan membahas bagaimana cara mudah memahami barisan dan deret aritmetika. Beberapa rumus cepat atau cara cepat untuk menentukan pola barisan aritmetika dan menggunakannya dalam pemecahan masalah atau soal. Mari kita pelajari!
1. Menentukan Pola Bilangan Suatu Barisan atau Deret Aritmetika
Rumus Umum yang sering digunakan untuk menentukan pola bilangan aritmetika adalah:
Contoh penggunaannya yaitu:
Contoh 1:
Tentukanlah rumus suku ke-n dari baris berikut: 3, 7, 11, 15, 19, ...
Terlihat bahwa beda antar suku barisan tersebut adalah +4 dengan suku pertama 3. Jadi, barisan bilangan tersebut adalah barisan aritmetika dengan rumus suku ke-n yaitu:
Walaupun cara di atas cukup simpel dan effisien, namun ada cara yang lebih effisien. Bagaimana caranya?? Lihat contoh berikut!
Contoh 2:
Tentukan rumus suku ke-n barisan aritmetika berikut: 5, 8, 11, 14, 17, ...
Misalkan rumus suku ke-n nya adalah Un=bn+c
Langkah 1. Tentukan beda barisan tersebut.
Karena beda barisan adalah +3 maka rumus Un akan menjadi Un=3n + c
Langkah 2. Tentukan nilai c dengan memasukan n=1
Jika kita masukkan n=1 ke Un maka diperoleh U1 = 3.1 + c = 5 karena nilai U1 = 5.
Oleh karena itu, c harus lah 2. Sehingga diperoleh rumus Un = 3n + 2.
Coba cara di atas untuk menentukan rumus Un berikut!
a. 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, ...
b. 12, 8, 4, 0, -4, ...
c. 2, 7, 12, 17, 22, 27, ...
2. Menentukan Jumlah n Suku Pertama Suatu Deret Aritmetika
Ada beberapa cara mencari jumlah n suku pertama deret aritmetika. Simbol dari jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn (Sum of the first n terms)
Bagaimana rumus di atas bisa diperoleh? Kalian bisa melihat konsep dasarnya pada artikel berjudul “Penjumlahan Deret Aritmetika”. Dua rumus di atas pada dasarnya sama karena rumus kedua diperoleh dari rumus pertama yaitu:
Bagaimana cara penggunaanya? Mari kita selesaikan contoh soal berikut!
Contoh 3:
Tentukan jumlah 100 suku pertama dari deret berikut!
a. 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + ...
b. Deret dengan rumus Un = -2n + 10
Jawab:
a. Dari deret 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + ..., kita peroleh bahwa suku pertamanya adalah 4 dan beda deret tersebut adalah 2. Maka jumlah 100 suku pertama adalah
b. Untuk mencari jumlah 100 suku pertama deret tersebut maka kita perlu tahu nilai U1 dan U100. Oleh karena itu:
Jadi, jumlah 100 suku pertama deret tersebut adalah -9100.
3. Menentukan Suku Tengah Suatu Barisan atau Deret Aritmetika
Lihatlah contoh 4 berikut:
Manakah suku tengah dari 11 suku pertama barisan aritmetika berikut 2, 5, 8, 11, 14, 17, ...!
Jawab:
Jika menggunakan cara manual maka diperoleh 11 suku pertama barisan tersebut yaitu:
Dengan mudah kita temukan suku tengah dari 11 suku pertama barisan diatas.
Tapi bagaimana jika pertanyaannya “tentukan suku tengah dari 100 suku pertama barisan tersebut” atau “suku tengah dari 2000 suku pertama barisan”. Tentulah cara manual tidak bisa digunakan. Untuk mencari suku tengah tersebut digunakanlah rumus berikut yaitu:
Dengan rumus tersebut, maka dapat kita cari suku tengah dari 2000 suku pertama barisan diatas. Cobalah!